ecuacion cuadratica por factorizacion

El parque de una colonia esta ubicado en un terreno cuadrado,
una parte cuadrada del terreno es de 50m x lado se ocupa como
estacionamiento y el resto es el jardin con un área de 14.400m cuadrados.

.

Ecuacion:

(x-50)  (x-50)=14400

x²-50x-50x+2500=14400

x²-100x+2500-14400=0

x²-100x-11900=0

factorizar   trinomio:

x²-100x-11900=0

(x-170)   (x+70)=0

x-170=0   x+70=0

x=170      x=-70

ecuacion cuadratica (ejercicio)

x²-10x+25=144

x²-10x+25-144=0

x²-10x-119=0

(x-17)  (x-7)=0

x-17=0        x-7=0

x=17           x=7

ENERGIA WARP

Cualquier imposibilidad es relativa. Cuando uno ve “cosas imposibles” en una buena película de ciencia ficción (de la dura, como se le dice), en realidad está observando acontecimientos que son imposibles en un determinado momento. Tenemos que separar lo que es físicamente imposible de lo que es sólo un problema de ingeniería terriblemente difícil de resolver. Por ejemplo, Michio Kaku, el autor del libro “Física de lo imposible”, confeccionó una lista de los artefactos que había visto en las películas de ciencia ficción y se preguntó: ¿Cuándo podrán ser factibles estas tecnologías? Para su sorpresa, descubrió que más del 90% de lo que se ve en el cine o la TV es físicamente posible, aunque extremadamente difícil de conseguir. Dentro de esta categoría caen los “viajes espaciales a velocidad Warp”, en la que los viajeros se desplazan a velocidades superiores a la de la luz.

Los viajes a velocidad warp utilizados por la Enterprise para recorrer el universo en tiempos “razonables para la escala humana” podrían, en principio, ser posibles. Pero de acuerdo con los cálculos efectuados por Stefano Finazzi y su grupo de científicos italianos de la Escuela Internacional para Estudios Avanzados, la puesta en marcha de un “motor Warp” podría crear un agujero negro capaz de incinerar a los pasajeros, a la nave estelar, a la Tierra misma y hasta a la pelada del mismísimo Jean-Luc Picard. “Los viajes Warp son hoy por hoy la mejor alternativa para conseguir viajar a velocidades mayores que la de la luz”, dice Stefano Finazzi, pero agrega: “Lamentablemente, la velocidad Warp no solo es muy difícil de conseguir, sino que su uso puede ser imposible”.

Por favor, no lo encienda cerca de casa.

Si nos aferramos a los preceptos de la física conocida, nada puede moverse más rápido que la velocidad de la luz. La teoría de la relatividad de Einstein lo prohíbe expresamente. Cualquier objeto cuya velocidad aumenta ve su masa incrementada de manera exponencial cuando se acerca a la velocidad de la luz, requiriendo aumentos -también exponenciales- de la potencia necesaria para seguir acelerándolo. Sin embargo, existen dos importantes atajos que podrían emplearse para superar las limitaciones impuestas por nuestras actuales teorías. El primero de ellos tiene que ver con los agujeros negros, que muchos consideran una especie de “puente” capaz de comunicar dos regiones diferentes del espacio. Si una nave espacial lograse cruzar (de una sola pieza) ese puente, se habría desplazado a una velocidad menor que la de la luz, pero aún así llegaría a su destino antes de que un rayo de luz consiguiera viajar esa misma distancia.

El segundo atajo es la “velocidad Warp”. Y, por extraño que parezca, es la que tiene mayores probabilidades de ser funcionar (más si tenemos en cuenta lo que sucede dentro de los agujeros negros). Sabemos que una nave no puede moverse por el espacio más rápido que la velocidad de la luz, pero parece que si contamos con la suficiente cantidad de energía podemos hacer que el espacio mismo se mueva más rápido que la luz. El “efecto Warp Alcubierre”, cuya teoría desarrolló el físico mexicano Michael Alcubierre en los años 90, podría emplearse para crear una “burbuja de energía” detrás de la nave a mover y un “vacío de energía” delante de ella. Esto tendría, salvando las distancias, el mismo efecto que tiene una ola sobre la tabla de un surfista. Dentro de la porción del espacio que se encuentra entre ambas burbujas se puede viajar más rápido que en el espacio que lo rodea, y podría utilizarse para acelerar una nave a velocidades superlumínicas.

“Sabemos que la velocidad warp se desestabilizaría”, dice Finazzi.

Finazzi y sus colegas italianos han realizado una gran cantidad de cálculos para determinar cómo podría crearse una burbuja de estas características utilizando una cantidad enorme de “materia exótica” o energía oscura. Han llegado a la conclusión de que “sería necesaria una tremenda cantidad de energía para crear la burbuja, y luego sucesivas e incrementales cantidades para confinar la enorme cantidad de energía oscura que envía hacia atrás.” Tarde o temprano, la energía disponible en el “motor Warp” se acabaría, destrozando la burbuja y creando una serie de eventos catastróficos. Por ejemplo, dentro de la región del espacio en la que se encontraría la burbuja, la temperatura se elevaría más de 10 elevado a la 32 grados Kelvin (o unos 100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 grados Celsius), que destruiría cualquier cosa que hubiese cerca, pasajeros y nave incluidos.

“Sabemos que la velocidad warp se desestabilizaría”, dice Finazzi. “Aún no sabemos si acabaría explotando, o si colapsaría en un agujero negro.” Sea cual fuese el resultado final, si la nave se encontraba acelerando en las inmediaciones de nuestro planeta, podría achicharrarnos en medio de una pequeña supernova, o bien destruirnos en el interior del agujero negro recién creado. Como puede verse, las perspectivas para el “viaje Warp” parecen bastante deprimentes. Deberemos esperar a que una buena película de ciencia ficción les de nuevas ideas a los científicos.

mecanica cuantica

Teoría Cuántica La física cuántica, también conocida como mecánica ondulatoria, es la rama de la física que estudia el comportamiento de la materia cuando las dimensiones de ésta son tan pequeñas, en torno a 1.000 átomos, que empiezan a notarse efectos como la imposibilidad de conocer con exactitud la posición de una partícula, o su energía, o conocer simultáneamente su posición y velocidad, sin afectar a la propia partícula (descrito según el principio de incertidumbre de Heisenberg). Surgió a lo largo de la primera mitad del siglo XX en respuesta a los problemas que no podían ser resueltos por medio de la física clásica.

Los dos pilares de esta teoría son: • Las partículas intercambian energía en múltiplos enteros de una cantidad mínima posible, denominado quantum (cuanto) de energía. • La posición de las partículas viene definida por una función que describe la probabilidad de que dicha partícula se halle en tal posición en ese instante Ratificación Experimental El hecho de que la energía se intercambie de forma discreta se puso de relieve por hechos experimentales, inexplicables con las herramientas de la mecánica clásica, como los siguientes:

Según la Física Clásica, la energía radiada por un cuerpo negro, objeto que absorbe toda la energía que incide sobre él, era infinita, lo que era un desastre. Esto lo resolvió Max Plank mediante la cuantización de la energía, es decir, el cuerpo negro tomaba valores discretos de energía cuyos paquetes mínimos denominó “quantum”. Este cálculo era, además, consistente con la ley de Wien (que es un resultado de la termodinámica, y por ello independiente de los detalles del modelo empleado). Según esta última ley, todo cuerpo negro irradia con una longitud de onda (energía) que depende de su temperatura. La dualidad onda corpúsculo, también llamada onda partícula, resolvió una aparente paradoja, demostrando que la luz y la materia pueden, a la vez, poseer propiedades de partícula y propiedades ondulatorias. Actualmente se considera que la dualidad onda - partícula es un "concepto de la mecánica cuántica según el cual no hay diferencias fundamentales entre partículas y ondas: las partículas pueden comportarse como ondas y viceversa".

Aplicaciones de la Teoría Cuántica El marco de aplicación de la Teoría Cuántica se limita, casi exclusivamente, a los niveles atómico, subatómico y nuclear, donde resulta totalmente imprescindible. Pero también lo es en otros ámbitos, como la electrónica (en el diseño de transistores, microprocesadores y todo tipo de componentes electrónicos), en la física de nuevos materiales, (semiconductores y superconductores), en la física de altas energías, en el diseño de instrumentación médica (láseres, tomógrafos, etc.), en la criptografía y la computación cuánticas, y en la Cosmología teórica del Universo temprano. Un nuevo concepto de información, basado en la naturaleza cuántica de las partículas elementales, abre posibilidades inéditas al procesamiento de datos. La nueva unidad de información es el qubit (quantum bit), que representa la superposición de 1 y 0, una cualidad imposible en el universo clásico que impulsa una criptografía indescifrable, detectando, a su vez, sin esfuerzo, la presencia de terceros que intentaran adentrarse en el sistema de transmisión. La otra gran aplicación de este nuevo tipo de información se concreta en la posibilidad de construir un ordenador cuántico, que necesita de una tecnología más avanzada que la criptografía, en la que ya se trabaja, por lo que su desarrollo se prevé para un futuro más lejano.

En la medicina, la teoría cuántica es utilizada en campos tan diversos como la cirugía láser, o la exploración radiológica. En el primero, son utilizados los sistemas láser, que aprovechan la cuantificanción energética de los orbitales nucleares para producir luz monocromática, entre otras característcias. En el segundo, la resonancia magnética nuclear permite visualizar la forma de de algunos tejidos al ser dirigidos los electrones de algunas sustancias corporales hacia la fuente del campo magnético en la que se ha introducido al paciente. Otra de las aplicaciones de la mecánica cuántica es la que tiene que ver con su propiedad inherente de la probabilidad. La Teoría Cuántica nos habla de la probabilidad de que un suceso dado acontezca en un momento determinado, no de cuándo ocurrirá ciertamente el suceso en cuestión.

Cualquier suceso, por muy irreal que parezca, posee una probabilidad de que suceda, como el hecho de que al lanzar una pelota contra una pared ésta pueda traspasarla. Aunque la probabilidad de que esto sucediese sería infinitamente pequeña, podría ocurrir perfectamente. La teleportación de los estados cuánticos (qubits) es una de las aplicaciones más innovadoras de la probabilidad cuántica, si bien parecen existir limitaciones importantes a lo que se puede conseguir en principio con dichas técnicas. En 2001, un equipo suizo logró teleportar un fotón una distancia de 2 km, posteriormente, uno austriaco logró hacerlo con un rayo de luz (conjunto de fotones) a una distancia de 600 m., y lo último ha sido teleportar un átomo, que ya posee masa, a 5 micras de distancia...

ecuacion cuadratica

Ecuaciones de segundo grado (o cuadráticas)

Ecuaciones de segundo grado y una incógnita

Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x.
Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad.
Ese valor es la solución de la ecuación.
Ejemplo: Resolver la ecuación x − 1 = 0
El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solución de la ecuación.
Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).
Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:
ax² + bx + c = 0
Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular.

Solución de ecuaciones cuadráticas

Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax² + bx + c = 0, donde a, b, y c son números reales.

Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:
Ejemplos:
9x² + 6x + 10 = 0 a = 9, b = 6, c = 10
3x² – 9x + 0 = 0 a = 3, b = –9, c = 0 (el cero, la c, no se escribe, no está)
–6x² + 0x + 10 = 0 a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)
Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax² + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:

Solución por factorización
En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.
Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.
Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x − 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuación a cero.
Para hacerlo, multiplicamos los binomios:

Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:

Ahora podemos factorizar esta ecuación:

(2x − 3)(x + 4) = 0

Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:
Si
2x − 3 = 0
2x = 3

Si
x + 4 = 0
x = −4
Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:
(x + 3)(2x − 1) = 9
2x² + 5x − 12 = 0
2x² + 5x = 12
2x² − 12 = − 5x
En todos los casos la solución por factorización es la misma:

2) Halle las soluciones de

La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a cero y luego resolver en términos de x:

Ahora, si
x = 0
o si
x− 4 = 0
x = 4
Algunos ejercicios: Resolver cada ecuación por el método de factorización:


Soluciones:


Solución por completación de cuadrados
Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:

(ax + b)² = n

en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)², es el cuadrado de la suma de un binomio.
Partiendo de una ecuación del tipo
x² + bx + c = 0
por ejemplo, la ecuación
x² + 8x = 48, que también puede escribirse x² + 8x − 48 = 0
Al primer miembro de la ecuación (x² + 8x) le falta un término para completar el cuadrado de la suma de un binomio del tipo
(ax + b)²
Que es lo mismo que
(ax + b) (ax + b)
Que es lo mismo que
ax² + 2axb + b²
En nuestro ejemplo
x² + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese número debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio ( a² + 2ab + b²) el tercer término corresponde al cuadrado del segundo término (4² = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así tenemos

x² + 8x + 16 = 48 + 16

x² + 8x + 16 = 64
la cual, factorizando, podemos escribir como sigue:
(x + 4) (x + 4) = 64
Que es igual a
(x + 4)² = 64
Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos

Nos queda
x + 4 = 8
Entonces
x = 8 − 4
x = 4
Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se logró obtener la expresión (x + 4)², que es el cuadrado perfecto de un binomio.
Veamos otro ejemplo:
Partamos con la ecuación
x² + 6x − 16 = 0
Hacemos
x² + 6x = 16
Luego, a partir de la expresión x² + 6x (primer miembro de la ecuación) debemos obtener una expresión de la forma (ax + b)² (cuadrado de la suma de un binomio).
Para encontrar el término que falta hacemos
(Para encontrar dicho término en cualquier ecuación siempre debemos dividir por 2 el valor real del segundo término y el resultado elevarlo al cuadrado).
Ahora, para obtener la expresión completa se suma 9 a ambos miembros de la ecuación:
x² + 6x = 16
x² + 6x + 9 = 16 + 9
x² + 6x + 9 = 25
factorizamos, y queda
(x +3) (x + 3) = 25
(x + 3)² = 25

La expresión x² + 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este caso (x + 3)², y así la ecuación se resuelve con facilidad:
Extraemos raíz cuadrada
, y queda
x + 3 = 5 y x + 3 = −5
(pues 5² = 5 y también (−5)² = 5
Entonces
x = 5 − 3
x = 2
Y
x = − 5 − 3
x = − 8
La ecuación 1 da x = 2 y la ecuación 2 da x = −8.
Otro ejemplo para analizar y estudiar:
Resolver la ecuación: x² – 6x + 8 = 0
Veamos: Con los términos x² y –6x podemos formar el cuadrado de binomio (x – 3)² , pero nos faltaría el término igual a 9, por lo tanto, dejamos las equis (x) a la izquierda y pasamos el 8 a la derecha de la igualdad:
x² – 6x = − 8
y sumamos 9 a ambos lados de la igualdad para que a la izquierda se forme el cuadrado de binomio:
¿Cómo encontramos el término que falta?, haciendo


x² – 6x = −8 /+9 (sumamos 9 en ambos miembros de la ecuación)

x² − 6x + 9 = − 8 + 9

(x – 3)² = 1
Extraemos las raíces cuadradas


y queda
x – 3 = 1 y x − 3 = −1

Si
x – 3 = 1
x = 1 + 3
x = 4
Si
x – 3 = −1
x = −1 + 3
x = 2
Por lo tanto x₁ = 4 y x₂ = 2
Debemos hacer notar que el método de completar cuadrados terminará en lo mismo que la fórmula general, porque es de este método de donde sale dicha fórmula, usada en el método que vemos a continuación.
Ver: PSU: Matematica; Pregunta 028_2010

Solución por la fórmula general

Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguiente:

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula.

La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.

Ejemplo:

Resolver la ecuación 2x² + 3x − 5 = 0

Vemos claramente que a = 2, b = 3 y c = −5, así es que:

Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el − :

y también

Así es que las soluciones son .

Aquí debemos anotar algo muy importante:

En la fórmula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresión . Esa raíz cuadrada sólo existirá cuando el radicando (b² − 4ac) sea positivo o cero.

El radicando b² – 4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ. El número de soluciones (llamadas también raíces) depende del signo de Δ y se puede determinar incluso antes de resolver la ecuación.

Entonces, estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto), podemos saber el número de soluciones que posee:

Si Δ es positivo, la ecuación tiene dos soluciones.

Si Δ es negativo, la ecuación no tiene solución.

Si Δ es cero, la ecuación tiene una única solución.

En el ejemplo anterior el discriminante era Δ = 49, positivo, por eso la ecuación tenía dos soluciones.
Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a − b la raíz y lo dividimos por 2a, y otra solución cuando restamos a − b la raíz y lo dividimos por 2a.

Trabajando con ecuaciones de segundo grado

Como lo dijimos al comienzo, cualquier ecuación de segundo grado puede, mediante transformaciones, expresarse en la forma ax² + bx + c = 0, donde a, y b son los coeficientes de los términos x² y x, respectivamente y c es el término independiente.

Ecuación de segundo grado completa

Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres coeficientes a, b, y c son distintos de cero.
Entonces, la expresión de una ecuación de segundo grado completa es

ax² + bx + c = 0.

Ecuación de segundo grado incompleta

Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos b o c, o ambos, son cero.

(Si a = 0, la ecuación resultante sería bx + c = 0, que no es una ecuación de segundo grado.)

La expresión de una ecuación de segundo grado incompleta es:

ax² = 0; si b = 0 y c = 0.

ax² + bx = 0; si c = 0.

ax² + c = 0; si b = 0.

Algunos ejemplos, con soluciones
1) Resolver: − 5x² + 13x + 6 = 0
Se identifican las letras, cuidando que la ecuación esté ordenada respecto a la x, de grado mayor a menor. Con esta condición tenemos: a = − 5; b = 13; c = 6.
Se aplica la fórmula:

Como la raíz buscada es 17 (el cuadrado de 17 es 289), se tiene entonces que:

Según esto, tendremos dos raíces diferentes, una usando el signo + y otra usando el signo −.

Llamaremos X₁ y X₂ a las dos soluciones, que serán:

Ambos valores de x satisfacen la ecuación, es decir, al sustituirlos en ella producen una identidad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la ecuación se le denomina verficación.
Probando con x = 3. Resulta: −5 • (3)2 + 13 • (3) + 6 = −45 + 39 + 6 = 0, tal como se esperaba en el segundo miembro.
Probando con , se tiene

Como ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 3 y son las raíces de − 5x² + 13x + 6 = 0

2.- Resolver: 6x − x² = 9

Hacemos los cambios necesarios para que la ecuación tenga la forma conocida. Trasponiendo y cambiando de lugar resulta:

− x² + 6x − 9 = 0. Ahora se identifican las letras:

a = −1 ; b = 6 ; c = −9 ; y se aplica la fórmula:

El discriminante (Δ) es igual a cero, por lo cual se producen dos raíces iguales a 3, es decir, x₁ = x₂ = 3.

Sustituyendo los valores en la ecuación original, se verifica que: 6•3 − 32 = 18 − 9 = 9 con lo cual se ha comprobado la respuesta.

Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadráticas

En los siguientes ejercicios mostraremos algunos planteamientos que pueden expresarse como una ecuación de segundo grado.
Para hacerlo, hay que entender la lógica del problema, identificando como x a una de las variables que el problema establece; luego deben escribirse las relaciones entre la variable, de acuerdo al planteamiento y, finalmente, se resuelve la ecuación.
Hay que destacar que sólo la experiencia mejora los resultados. Para practicar, los interesados pueden consultar el "Algebra" de Aurelio Baldor, que, para muchos, es la biblia del álgebra.
Problema 1
La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números
Primero se asigna la variable x a una de las incógnitas del problema. Hay dos incógnitas que son ambos números, como el problema no hace distinción entre uno y otro, puede asignarse x a cualquiera de los dos, por ejemplo:
x = Primer número
Como la suma de ambos es 10, entonces necesariamente el otro será:
10 − x = Segundo número
Para entenderlo mejor:
Si entre su amigo y usted tienen $ 1.000, y su amigo tiene $ 400, ¿Cuánto tiene usted?, obviamente, restando el total menos 400, es decir 1.000 − 400 = $ 600. Si su amigo tiene $ x, la cuenta no cambia, sólo que no sabrá el valor sino en función de x, es decir, usted tiene 1.000 − x .
La condición final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos números resulta 58, entonces:
x² + (10 - x)² = 58
Esta es la ecuación a resolver
Para hacerlo, aplicamos algunas técnicas de álgebra elemental y luego reordenamos para llegar a la fórmula conocida.
Vemos que la operación indicada entre paréntesis es el cuadrado de un binomio. Es un error muy común que los estudiantes escriban: (a − b)² = a² − b², lo cual es incorrecto. La expresión correcta es: (a − b)² = a² − 2•a•b + b²
Desarrollando la ecuación se tiene: x² + 10² − 2•10•x + x² = 58 = x² + 100 − 20•x + x² = 58
Ordenando y agrupando: 2x² − 20•x+ 42 = 0;
Dividiendo entre 2 toda la ecuación:
x² − 10x + 21 = 0
Ahora podemos aplicar la fórmula general para resolver la ecuación de segundo grado y llegaremos a x₁ = 7 y x₂ = 3.
Veamos, si tenemos
a = 1, b = −10 c = 21

Los números buscados son 7 y 3.

Problema 2

El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de la sala.

Largo y ancho son diferentes. El problema permite que la variable x se asigne a cualquiera de las dos incógnitas, largo o ancho.

Supongamos que:

x = ancho de la sala

El largo es 3 metros mayor que el ancho, así es que:

x + 3 = largo de la sala.

El área de un rectángulo es la multiplicación de ambos:

x • (x + 3 ) = área de la sala.

Téngase en cuenta que estos son los datos iniciales.

Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo aumenta en 2 metros, así que, luego del aumento quedan:

x + 3 = nuevo ancho de la sala

x + 5 = nuevo largo de la sala

(x + 3 ) • (x + 5) = nueva área de la sala

Según los datos del problema, el área se ha duplicado, así es que planteamos la ecuación:

(x + 3 ) • (x + 5) = 2 • x • (x + 3)

Se efectúan las multiplicaciones: x² + 5x + 3x + 15 = 2x² + 6x

Se pasa todo al primer miembro: x² + 5x + 3x + 15 − 2x² − 6x = 0

Se simplifica: − x2 + 2x + 15 = 0 Esta es la ecuación a resolver.

Se aplica la fórmula conocida y resulta: x₁ = 5 y x₂ = −3.

La solución x = −3 se desecha, ya que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo. Se toma como única respuesta que el ancho original (x) era 5 metros.

Como el largo inicial x + 3 = 8 metros, el área original era 8m • 5m = 40 m².

Problema 3

Halle el área y perímetro del triángulorectángulo mostrado. Las dimensiones están en metros

Como es un triángulo rectángulo se cumple el Teorema de Pitágoras: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos" (c² = a² + b²). La hipotenusa es el lado mayor (2x − 5) y los otros dos son los catetos, se plantea entonces la ecuación:

(x + 3)² + (x − 4)² = (2x − 5)²

Desarrollando cada binomio al cuadrado, se tiene:

x² + 2 • 3 • x + 3² + x² − 2 • 4 • x + 4² = (2x)² − 2 • (2x) • 5 + 5² = x² + 6x + 9 + x² − 8x + 16 = 4x² − 20x + 25

Reagrupando:

x² + 6x + 9 + x² − 8x + 16 − 4x² + 20x − 25 = 0

Finalmente:

−2x² + 18x = 0

Es la ecuación a resolver

Las raíces de la ecuación son x₁ = 0 y x₂ = 9.

La solución x = 0 se desecha, ya que entonces un cateto sería −4 m, lo cual no es posible. La solución es entonces, x = 9. De esta manera, el triángulo queda con catetos 12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros.

El área de un triángulo es base por altura dividido 2; la base y la altura son los dos catetos que están a 90° , por lo tanto el área es

El perímetro es la suma de los lados, es decir, P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m.

aqui esta cualquiera de las maneras que se puede resolver una ecuacion cuadratica

Hercólobus

Hercólobus, el planeta rojo, también llamado Ajenjo o Barnard1, este último nombre dado por su descubridor, un astrónomo llamado Barnard del que hasta el momento no tenemos ninguna información. El planeta Hercólobus es un gigante con un tamaño unas 6 veces mayor que el de Júpiter, perteneciente al sistema Tylo o Tyler, y cuya órbita alrededor de su sol dura unos 35.000 años.

La órbita de Hercólobus llega en un punto a situarse a aproximadamente 500.000 Kilómetros de la Tierra, o puede que incluso algo menos. El peligro de colisión es en teoría nulo, ya que las orbitas planetarias no llegan a cruzarse. ¿Pero, que consecuencias puede acarrear la aproximación a la Tierra, de un planeta de tan colosales dimensiones?

Según hemos podido comprobar, las consecuencias serían sin duda bastante desastrosas. Se conocen supuestamente cuatro aproximaciones anteriores (por supuesto en intervalos de 35.000 años), todas ellas ligadas a grandes extinciones o a enormes cambios climáticos. Se dice que fue el causante de la extinción de los dinosaurios e incluso que en su última aproximación desvió el eje de la Tierra a su estado actual e invirtió su sentido de rotación.

En Internet, hemos encontrado informaciones como la siguiente trascripción literal:

"La Revolución de los ejes de la tierra se apresurara violentamente, lo que es polo será ecuador y parte del ecuador serán los polos.

El magnetismo de este planeta despertara los volcanes inactivos, atraerá el fuego del centro de la tierra, haciendo que los volcanes entren en erupción y provocando de esta forma los terremotos en cadena.

Muchas super metrópolis como París, Roma, New York, Moscú, desaparecerán de acuerdo a su peso en la Ley del Karma, las pequeñas ciudades entraran en crisis social, cultural y económica con los éxodos de personas que como bestias buscaran refugio.

En algunos países con armas y centros nucleares estarán en emergencia. Muchos virus inactivos saldrán a gobernar en el caos humano. Enfermedades olvidadas surgirán causando desconcierto en el terreno científico. Mutaciones de animales de laboratorios tomarán las calles y avenidas, solo con los Poderes de los Altos Iniciados se les podrá combatir.

En teoría el 11 de Agosto de 1.999, coincidiendo con el último eclipse del milenio, Hercólobus llegará a ese punto tan cercano a nuestro planeta, y según la información que hemos podido recabar, esta aproximación volverá a enderezar el eje planetario (o lo desviará aún más) y volverá a invertir el sentido de rotación terrestre. En días pasados, hemos encontrado el extracto de una nota que, de ser auténtico, representaría el único documento astronómico que poseemos respecto a la existencia de Hercólobus, se trata de un informe enviado por el astrónomo chileno Carlos Muñoz Ferrada a Brian Marsden del Smithsonian Center de la

Y, al mismo tiempo, el suscrito ha incluido los cálculos, ilustraciones, posiciones siderales, que también los calculó, y los dio a conocer el 11 de junio de 1.940, de la lenta penetración al sistema solar, de una nueva y brillante masa cósmica que se aproxima a La Tierra, de un gigantesco Cometa Planeta (que tiene órbita elíptica como cometa y de gran masa como planeta), de altas vibraciones, pesado, gran campo electromagnético como tres veces al que tiene el planeta Júpiter, alta velocidad, viene vertical a la elíptica terrestre y que viaja en sentido directo en órbita elíptica en el tiempo de 13.333.3 años, 133.3 siglos, entre nuestro Sol y un Sol Negro de una estrella lejana moribunda que está a 32 billones de kms.

Que este gran astro que viene penetrando tiene gran excentricidad de 0.99999 y un movimiento medio angular de 0.0000739 por día; que al mismo tiempo: 12 conjunciones medio angular de los grandes planetas nuevos y lejanos: X más XI con sus perturbaciones gravitacionales en órbitas excéntricas equivalen a un ciclo completo de 13.333.3 años igual (1125.6 x 12) 173.9 años del Cometa Planeta de gran masa y campo electromagnético.

Este gran astro que se está acercando, con velocidad uniformemente acelerada, pronto debe ser localizado cerca del Polo Norte, al norte de la Corona Boreal, en toda la Osa menor, en las coordenadas siderales ecuatoriales con una ascensión recta igual a 15 h. 15 m. y una declinación igual más 67º20' norte. Y que el jueves 11 de agosto de 1999, DC., es decir, dentro de 15 años a contar desde 1984, este astro que brillará hasta de día; en esta fecha estará en conjunción: Sol Cometa Luna Tierra, a las 11 h. 22 m. del tiempo universal. Al mismo tiempo, será el día del gran eclipse total del Sol rojizo. En esos instantes, este misterioso astro estará en perigeo a sólo 10.5 millones de kms. de la tierra.

(Nota: el planeta Hercólobus es conocido también como el Planeta X , Décimo Planeta, Planeta Nibiru - ver nuestra Sección "ET presence in Sumeria" - En 1987 la NASA anunció oficialmente la "posibilidad" de la existencia del Planeta X, como reportado en la revista Newsweek del 13 Julio 1987).

Este astro veloz pasará por dentro de la órbita de la tierra con una velocidad parabólica de 66 kms. por segundo, y al mismo tiempo, en esa fecha, su perihelio a sólo 139.1 millones de kms. del Sol.

Además el suscrito, también encuentra dentro del campo de las probabilidades, determinando que esta nueva y gigantesca masa cósmica atractiva, puede llegar hasta a enderezar el eje de la tierra con grandes perturbaciones gravitacionales y geofísicas y aún, podría hasta influir en el campo atractivo de nuestro satélite la Luna. La órbita de la elíptica terrestre quedaría paralela al Ecuador celeste. Los dos polos eliminados, al mismo tiempo, como en los días de los equinoccios de primavera y otoño".

Eyecciones de masa coronal

Eyecciones de Masa Coronal Las eyecciones de masa coronal son eventos dinámicos en los cuales el plasma, inicialmente contenido en las líneas cerradas del campo magnético coronal, es eyectado hacia el espacio interplanetario. Están caracterizadas por grandes eyecciones de masa de alrededor de 10¹⁶g y energías de ~10³²erg, cubriendo un amplio rango de velocidades desde 50 a 2000km/seg y frecuentemente asociadas con ondas de choque interplanetarias (figuras III y IV).

Fueron identificadas por primera vez en observaciones realizadas en los años 70. El término CME se utilizó para distinguir eventos caracterizados por eyecciones de masa solar de otros tipos de transitorios coronales en los que no se observa material que abandona la corona como por ejemplo la reorganización de la estructura coronal global. En 1984, Hundhausen definió una CME como: ‘Un cambio en la estructura coronal que:

1. ocurre en una escala de tiempo que va desde unos pocos minutos hasta varias horas,
2. reviste una apariencia de una característica nueva, discreta y brillante en el campo de visión del coronógrafo’.

Esta definición es muy apropiada porque:

- da importancia al aspecto observacional,
- enfatiza el carácter de evento transitorio,
- no infiere una interpretación de su potencial origen,
- restringe la aplicabilidad del término a la proximidad del Sol.

La comunidad científica ha decidido mantener el nombre de eyección coronal de masa, aunque sería más apropiado el término de eyección solar de masa. El material eyectado en estos eventos dinámicos de la corona solar consiste específicamente en plasma casi totalmente ionizado y/o ocasionalmente material de protuberancias (figura IV) con cantidades significativas de gas frío en bajos estados de ionización. Las mayores fracciones de este material abandonan el Sol y se propagan a través de la heliosfera como nubes interplanetarias de plasma.

ejercicios de logaritmos

Problema 1:

Problema 2:

Problema 3

log(x + 4) = 1 - log(x - 5)
log(x + 4) = log 10 - log(x - 5) = log (10/(x - 5))
x + 4 = 10/(x - 5)
x² - x - 30 = 0
x = 6
x = - 5 (esta solución, no es válida).

Problema 4

Calcular el valor de log₂ 64
Como 64 = 2⁶
log₂ 64 = log₂ 2⁶
Aplicando la definición de logaritmo (logaritmo de un número a es otro número b al que tenemos que elevar la base para obtener el número a), la solución es 6.

clasificacion de expresiones algebraicas segun sus numeros de terminos

De acuerdo al número de términos, las expresiones algebraicas se pueden clasificar generalmente en monomios y polinomios.

MONOMIO:
Es una expresión algebraica que consta de un solo término, por ejemplo:
                            x⁴

POLINOMIO:

Son expresiones algebraicas que constan de dos o más términos.

Ejemplo:

Los polinomios de dos términos reciben el nombre especial de BINOMIOS.

Ejemplos de binomios: