lunes, 4 de febrero de 2013

ejercicio sumas de los ángulos interiores de polígonos regulares.

Si cada angulo interior de un polígono regular mide 156°, ¿cuantos lados tiene el polígono?

solución:

Según los datos, sabemos que (n-2)/n(180°)=156°; nos interesa el valor de n. si

(n-2)/n(180°)=156°

entonces (n-2)180°=156°n. efectuando las operaciones indicadas y simplificando terminos,

180°n-360°=156°n
24°n=360°
n=360°/24°
n=15.

Así. se trata de un pentadecagono regular.

ejercicio de sumas de los ángulos interiores de polígonos regulares.

colorario:
cada angulo interior de un poligono regular de n lados es igual a (n-2)/n (180°).
¿cuantos grados mide el angulo interior de un pentágono regular?

solucion:

aplicamos la formula (n-2)/2180° para n=5:
(5-2)180°/5=(3)180°/5=108°.

así, cada uno de los ángulos interiores de un pentágono regular mide 108°.

ejercicio suma de los ángulos interiores de un polígono.

la suma de los angulos interiores de un poligono es igual a 3240°. ¿de cuantos lados esta formado el poligono?

solucion:
en virtud del teorema, se tiene que
(n-2)180°=3240°.
de esta ecuacion despejamos n:
n=3240°/180°+2=18+2=20.

luego, el poligono tiene 20 lados.

ejercicio suma de las medidas de los ángulos interiores de un poligono

calcula la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono de 14 lados.

solución:
aplicamos la formula (n-2)180° para n=14, y determinamos que
 (14-2)180°=(12)180°=2160°.

esto es la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono de 14 lados es igual a 2160°.

Sumas de las medidas interiores de poligonos.



teorema:
la suma de las medidas de los angulos interiores de un poligono convexo de n lados es igual a (n-2)180


hipótesis
Tesis
A1A2A3…An es un polígono convexo de n lados y el ángulo A1, angulo A2, Angulo A3….ángulo n son sus ángulos interiores.
Angulo A1+angulo2+anguloA3…. +An=(n-2)180°

Razonamiento:
Dese un vértice cualquiera, por ejemplo A1, trazamos todas las diagonales que parten de él. Así, el polígono dado queda dividido en (n-2) triángulos. Como la suma de los ángulos interiores del polígono dado es la misma que la de los ángulos interiores de los triángulos, dicha suma es igual a (n-2)180°.

domingo, 3 de febrero de 2013

ejercicio numero de diagonales

El numero de diagonales de un polígono es tres veces el numero de sus lados. ¿De cuantos lados es el polígono?

solucion:
en este caso debe cumplirse la igualdad
n(n-3)/2=3n

mediante operaciones algebraicas, transformamos esta igualdad en la ecuacion de segundo grado N2-9n=n(n-9)=0
el producto de dos factores es igual a cero si uno de ellos es igual a 0. por lo que n=0 o n-9=0. asi. las soluciones son N1=0 y n2=9.
luego, se trata de un nonagono. un nonagono (n=9) tiene 27 diagonales y este numero es tres el numero de lados.(¿por que no se considera la solucion N1 =0)

Ejercicio numero de diagonales.

¿como se llama el polígono en el cual podemos trazar 54 diagonales?

solución:

se tiene que

n(n-3)/2=54
multiplicamos ambos miembros de esta ecuación por 2, n(n-3)=108. desarrollando la multiplicación y escribiendo todos los términos en el primer miembro, obtenemos la ecuación de segundo grado:
n2-3n-108=0

n2-3n-108=0
(n-9) (n+12)=0
n1=-9    n2=12

como el numero de lados de un polígono debe ser positivo, tomamos nada mas la solución positiva, o sea, n2=12. entonces, el polígono con 54 diagonales tiene 12 lados y se llama dodecagono. 

sábado, 2 de febrero de 2013

Ejercicio-numero de diagonales

calcula el numero de diagonales de un decágono.
solución:
aplicamos la formula n(n-3)/2 para n=10 y, efectuando las operaciones, se obtiene

10(10-3)/2=10(7)/2=35 diagonales.

esto es, un decágono tiene 35 diagonales.

diagonales (geometría plana)


Teorema:
Un polígono convexo de n lados tiene n(n-3)/2 diagonales
Demostración:
hipótesis
tesis
A1A2A3….An es un polígono convexo de n lados.
El poligono A1A2A3…An tiene n(n-3)/2 diagonales.

Razonamiento:
Un polígono de n lados tiene n vértices (¿Por qué?); por cada vértice hay n-3 diagonales, así, serian n(n-3) diagonales. Pero de esta manera cada diagonal se estaría contando con respecto al punto inicial y al final, es decir, dos veces. Luego, el numero de diagonales es n(n-3)/2.