Sumas de las medidas interiores de poligonos.

teorema:

la suma de las medidas de los angulos interiores de un poligono convexo de n lados es igual a (n-2)180

hipótesis	Tesis
A1A2A3…An es un polígono convexo de n lados y el ángulo A1, angulo A2, Angulo A3….ángulo n son sus ángulos interiores.	Angulo A1+angulo2+anguloA3…. +An=(n-2)180°

Razonamiento:

Dese un vértice cualquiera, por ejemplo A1, trazamos todas las diagonales que parten de él. Así, el polígono dado queda dividido en (n-2) triángulos. Como la suma de los ángulos interiores del polígono dado es la misma que la de los ángulos interiores de los triángulos, dicha suma es igual a (n-2)180°.

ejercicio numero de diagonales

El numero de diagonales de un polígono es tres veces el numero de sus lados. ¿De cuantos lados es el polígono?

solucion:
en este caso debe cumplirse la igualdad
n(n-3)/2=3n

mediante operaciones algebraicas, transformamos esta igualdad en la ecuacion de segundo grado N²-9n=n(n-9)=0

el producto de dos factores es igual a cero si uno de ellos es igual a 0. por lo que n=0 o n-9=0. asi. las soluciones son N₁=0 y n₂=9.

luego, se trata de un nonagono. un nonagono (n=9) tiene 27 diagonales y este numero es tres el numero de lados.(¿por que no se considera la solucion N_{1 =0)}

Ejercicio numero de diagonales.

¿como se llama el polígono en el cual podemos trazar 54 diagonales?

solución:

se tiene que

n(n-3)/2=54

multiplicamos ambos miembros de esta ecuación por 2, n(n-3)=108. desarrollando la multiplicación y escribiendo todos los términos en el primer miembro, obtenemos la ecuación de segundo grado:

n²-3n-108=0

factorizamos(recordando la regla de factorizacion.):

n²-3n-108=0

(n-9) (n+12)=0

n₁=-9    n₂=12

como el numero de lados de un polígono debe ser positivo, tomamos nada mas la solución positiva, o sea, n₂=12. entonces, el polígono con 54 diagonales tiene 12 lados y se llama dodecagono. 

Ejercicio-numero de diagonales

calcula el numero de diagonales de un decágono.
solución:
aplicamos la formula n(n-3)/2 para n=10 y, efectuando las operaciones, se obtiene

10(10-3)/2=10(7)/2=35 diagonales.

esto es, un decágono tiene 35 diagonales.

diagonales (geometría plana)

Teorema:

Un polígono convexo de n lados tiene n(n-3)/2 diagonales

Demostración:

hipótesis	tesis
A1A2A3….An es un polígono convexo de n lados.	El poligono A1A2A3…An tiene n(n-3)/2 diagonales.

Razonamiento:

Un polígono de n lados tiene n vértices (¿Por qué?); por cada vértice hay n-3 diagonales, así, serian n(n-3) diagonales. Pero de esta manera cada diagonal se estaría contando con respecto al punto inicial y al final, es decir, dos veces. Luego, el numero de diagonales es n(n-3)/2.